Нажмите ENTER

ЗАГОЛОВОК ПРОЕКТА

    Нажмите ENTER

    БЛОГ

    Maxim1212
    01.09.2019
    Математическая энциклопедия Комментариев нет

    Топология Александрова

    В математике, ТОПОЛОГИЯ АЛЕКСАНДРОВА– топологическое пространство, для которого общая часть любого семейства его открытых подмножеств является открытым множеством. Данный вид пространств был определен выдающимся рус. сов. математиком Павлом Александровым в 1937 году под названием «дискретные пространства» [Pawieł Aleksandrow, Diskrete Räume, Mat. Sb. (N.S.) 2 (1937), s. 501–518]. Название дискретных пространств позже стало использоваться для топологических пространств, в которых каждое подмножество открыто, а их первоначальная концепция оставалась забытой. С развитием категориальной топологии в 1980-х годах, когда понятие конечной генерации было применено к общей топологии, пространства Александрова были заново открыты и для них было принято название конечно порожденных пространств. Примерно в то же время были открыты пространства Александрова в контексте топологий, возникающих в результате денотационной семантики и теории доменов в информатике.
    В 1966 году Майкл С. Маккорд и А. К. Штейнер независимо друг от друга наблюдали двойственность между частично упорядоченными множествами и пространствами, которые были именно Т 0- версиями пространств, введенных Павлом Александровым [McCord, M. C. (1966). “Singular homology and homotopy groups of finite topological spaces”. Duke Mathematical Journal. 33 (3): 465–474] [Steiner, A. K. (1966). “The Lattice of Topologies: Structure and Complementation”. Transactions of the American Mathematical Society. 122 (2): 379–398] П. Джонстон упоминал такие топологии как топологии Павла Александрова [Johnstone, P. T. (1986). Stone spaces (1st paperback ed.). New York: Cambridge University Press.]. Ф. Г. Аренас независимо предложил это название для общего варианта этих топологий [Arenas, F. G. (1999). “Alexandroff spaces” (PDF). Acta Math. Univ. Comenianae. 68 (1): 17–25]. Маккорд также показал, что эти пространства слабо эквивалентны в порядке комплекса соответствующего частично упорядоченного множества. Штейнер же продемонстрировал, что двойственность является контрвариантной решеткой, сохраняя изоморфизм произвольных встреч и объединений, а также их дополнения.
    Систематическое исследование этих пространств с точки зрения общей топологии, которым пренебрегали со времен оригинальной статьи Александрова, было предпринято Ф. Г. Аренасом.

    Топологии Александрова имеют большое количество характеристик. к примеру, пусть X = < X , T > топологическое пространство. Тогда следующие значения эквивалентны:

    • Открытый и закрытый набор характеристик:

    Открытое множество: произвольное пересечение открытых множеств X является открытым множеством.
    Закрытое множество. Произвольное объединение замкнутых множеств из X является замкнутым множеством.

    • Внутренняя и замыкательная алгебраические характеристики:

    Оператор интерьера. Интерьера оператор из X распределяет над произвольными пересечениями множеств.
    Оператор закрытия. Оператор замыкания из X распределяет над произвольными объединениями подмножеств.

    • Теоретические характеристики конечного поколения и категории:

    Конечное закрытие. Точка х лежит в замыкании подмножества S из X, если и только если существует конечное подмножество Р из S, таких, что х лежит в замыкании F (это конечное подмножество всегда можно выбрать как одноэлементное)
    Конечное подпространство. Т является когерентным с конечными подпространств X.
    Конечная карта включения. Отображения включения f i: XiX конечных подпространств в X образуют конечный сток .
    Конечное поколение. X конечно порожден, т.е. он находится в конечном корпусе конечных пространств (это означает, что существует конечный сток fi: Xi → X, где каждый Xявляется конечным топологическим пространством.)

    Учитывая предупорядоченное множество X, то внутренний оператор и оператор замыкания из T ( X ) задаются следующим образом:
    Int (S) = { x  ∈ X: для всех y ∈ X из x ≤ y следует y  ∈ S}, и
    CI (S) = { x  ∈ X: существует y ∈ S с x ≤ y }
    для всех S ⊆  X.
    С учётом внутреннего оператора и оператора замыкания, эта конструкция представляет собой частный случай построения модальной алгебры из семантики Крипке, т.е. из набора с одним бинарным отношением.


    Вы можете помочь Большой энциклопедии знаний стать лучше- пришлите нам свою новую авторскую статью и получите гонорар!

    © При копировании активная ссылка на сайт обязательна

    См. Алфавитный указатель статей Большой энциклопедии знаний

    Комментарии закрыты